Posted on: July 16, 2020 Posted by: MARTECNA Comments: 0

PLANTEO

Dos chicos están ordenando sus cajas de herramientas y encuentran algunos matafiones de repuesto que tenían guardados hace mil años 😁. Después de contarlos, uno le dice al otro: “Uy, si me das uno yo voy a tener el doble que vos.” El amigo le dice: “Mejor dame vos uno y vamos a tener los dos la misma cantidad” ¿Cuántos matafiones tiene cada uno?⁠

SOLUCION

Como estuvimos haciendo para los últimos desafíos, vamos a encarar la solución de dos maneras: primero con prueba y error y después “matemáticamente”.

PRUEBA Y ERROR

El planteo del problema nos da dos premisas:

  • Si uno de los amigos pierde un matafión y el otro gana uno, el que ganó uno va a tener el doble que el otro.
  • Si el que el que más tiene le pasa 1 matafión a su amigo, se igualan las cantidades

Antes de empezar con el razonamiento, vamos a poner nombre a los amigos: el que tiene menos se llama Ezequiel y el que tiene más se llama Mariano. Ahora sí, con nombres es más fácil de explicar.

En base a la primer premisa podríamos ir pensando en pares de números que cumplan la condición de que restando a uno y sumando al otro, el que recibe (en nuestro caso Mariano) pase a ser el doble del otro (Ezequiel). Eso sí, para cumplir la condición de DOBLE entre dos cantidades de elementos que no se dividen por la mitad ni ninguna otra fracción, la cantidad final del que recibe tiene que ser PAR, por lo tanto, la cantidad inicial era impar. Sabiendo esto, hacemos el planteo con 2 números cualquiera para tener una idea de dónde estamos parados. Pensemos dos ejemplos:

El razonamiento lo vamos a hacer de atrás para adelante, tomando como base que Mariano se queda con 70 matafiones (ejemplo 1) o 10 matafiones (ejemplo 2)

  • En el ejemplo 1, después de que Ezequiel le da un matafión a Mariano, Mariano tiene 70 matafiones
  • En el ejemplo 2, después de que Ezequiel le da un matafión a Mariano, Mariano tiene 10 matafiones

Ezequiel ahora va a tener:

  • en el primer ejemplo 35 matafiones (70 dividido 2);
  • y en el segundo 5 (10 dividido 2).

Es decir que inicialmente ambos tenían:

  • En el primer ejemplo: Mariano 69 y Ezequiel 36
  • En el segundo ejemplo: Mariano 9 y Ezequiel 6

De la segunda premisa podemos deducir que la diferencia entre las dos cantidades es 2, ya que con sólo pasar un matafión de Mariano a Ezequiel se igualan las cantidades. Pero esta premisa también modifica y acota los ejemplos anteriores. Por un lado, habíamos dicho que la cantidad inicial del que más tiene era impar. Si a un número impar le restamos 2, nos queda otro número impar. Por lo tanto ya sabemos que las cantidades originales deben ser ambas impares. Entonces nuestros ejemplos anteriores no valen y tenemos que partir de 2 cantidades impares o, mejor dicho, partir de un número par cuya mitad sea par. En lugar de 70 y 10 podríamos pensar en 72 y 12:

  • Primer ejemplo: después de que Ezequiel le da un matafión a Mariano, Mariano tiene 72 matafiones y Ezequiel 36 (72 dividido 2)
  • Segundo ejemplo: después de que Ezequiel le da un matafión a Mariano, Mariano tiene 12 y Ezequiel 6.

Entonces, las cantidades iniciales eran

  • En el primer ejemplo Mariano 71 y Ezequiel 37
  • En el segundo ejemplo Mariano 11 y Ezequiel 7

Pero ninguna cumple con la premisa 2 de que debe haber una diferencia de 2 entre ambas cantidades.

Entre los dos ejemplos, el que más se acerca a esta condición es el segundo, ya que hay 4 matafiones de diferencia. Entonces arrancamos de esas cantidades y vamos bajando de a 2 hasta llegar a una que cumpla:

Mariano 9 y Ezequiel 7 cumple la premisa 2 pero no cumple la 1

Mariano 7 y Ezequiel 5 cumple ambas:

Si Ezequiel le da 1 matafión a Mariano, Mariano va a tener 8 y Ezequiel 4, y 4 es la mitad que 8.

Si Mariano le da 1 matafión a Ezequiel cada uno pasa a tener 6 matafiones.

AHORA LO RESOLVEMOS MATEMATICAMENTE

¿Cómo se hace? Tenemos 2 incógnitas y dos condiciones, por lo tanto podemos hacer un planteo de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. A las incógnitas las llamamos E (de Ezequiel) y M (de Mariano). Las dos ecuaciones son:

Ecuación 1: M + 1 = 2 . (E – 1) (quiere decir que Mariano más 1 es igual a dos veces (el doble) Ezequiel menos 1)

Ecuación 2: M – 1 = E + 1 (quiere decir que Mariano menos 1 es igual a Ezequiel más 1)

Ahora trabajamos con las dos ecuaciones. Podemos despejar M de la ecuación 2 y nos queda

M = E + 2

Reemplazamos M en la ecuación 1

E + 2 + 1 = 2 . (E – 1)

Ahora despejamos E

E = 2 . (E – 1) – 1 – 2

E = 2E – 2 – 1 – 2 = 2E – 5 => E = 2E – 5

Pasamos E para la derecha restando y el 5 sumando a la izquierda

5 = E => ya tenemos la primera solución. Ahora que sabemos cuánto vale E,

reemplazamos en M = E + 2 y nos queda que

M = 7

El planteo matemático nos dio lo mismo que los tanteos de prueba y error que hicimos más arriba 🙂

RESPUESTA: uno de los chicos tiene 5 matafiones y el otro 7.

Y llegamos al final, como siempre, te invitamos a visitar nuestras redes el miércoles que viene que tendremos otro desafío para vos. Y si tenés algún desafío que querés compartir escribinos a oficina@martecna.com o por whatsapp al +54 9 1166196503, o por inbox en nuestras redes sociales.

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